'
Text Size
Po Pierwsze Fraktalna rzeczywisto??

Poznanie geometryczne dotyczy tego, co wieczne - stwierdzi? Platon ponad dwa tysi?ce lat temu. ?wiadomo?? tego towarzyszy?a cz?owiekowi od zarania dziejów. Najpierw przez wieki próbowano okre?li? geometryczny kszta?t Ziemi, potem kszta?t orbit cia? niebieskich, by w czasach nowo?ytnych - dzi?ki geniuszowi Einsteina - opisa? kszta?t czasoprzestrzeni.

 

Wszystkie te wielkie akty poznania mog?y nast?pi? w wyniku rozwoju geometrii, która wyznacza?a drogi opisu ?wiata rzeczywistego, z?o?onego z nieogarni?tej liczby obiektów o przeró?nych kszta?tach i formach przestrzennych. Jednak ani klasyczna geometria Euklidesa, ani geometria eliptyczna i hiperboliczna nie wystarcza?y do opisu ca?ej z?o?ono?ci Natury. Przede wszystkim dlatego, i? geometrie te bada?y w?asno?ci figur wyidealizowanych, doskona?ych w swym kszta?cie okr?gów, elips, trójk?tów, kul itp., w kontek?cie odwzorowa? izometrycznych.

Dopiero nowa geometria rozwijaj?ca si? od ko?ca ubieg?ego stulecia - topologia - stworzy?a podstawy do rozwa?a? nad holistycznymi w?asno?ciami obiektów, nad homomorfizmami (tj. bijekcjami w obie strony ci?g?ymi). "Chmury nie s? kulami, góry sto?kami, linie brzegowe ko?ami, kora nie jest p?aska, ani te? b?yskawica nie porusza si? po linii prostej" - napisa? w The Fractal Geometry of Nature Mandelbrot
(1982: 1).

Wnikaj?c g??biej w ten problem, dla uchwycenia nieregularno?ci obiektów spotykanych w rzeczywisto?ci, Mandelbrot odkry? nowe formy geometryczne, które od ?aci?skiego s?owa fractus ("z?amany") nazwa? fraktalami. Fraktale cechuj? nast?puj?ce w?asno?ci geometryczne i algebraiczne:

  1. nie posiadaj? unikalnej, charakterystycznej dla nich skali d?ugo?ci, gdy? powi?kszone lub pomniejszone nie zmieniaj? swych kszta?tów,
  2. s? samopodobne na ka?dym poziomie obserwacji (pomiaru) w tym sensie, ?e po wyci?ciu z nich dowolnej ma?ej cz??ci i jej powi?kszeniu powstanie obiekt wiernie na?laduj?cy ca?o??,
  3. przedstawione w sposób analityczny, opisywane s? zale?no?ciami rekurencyjnymi, a nie wzorami matematycznymi.

Tradycyjne figury geometryczne takie jak ko?a, trójk?ty czy kwadraty, nie spe?niaj? tych w?asno?ci. Wyci?ty fragment kwadratu nie przypomina ca?ego kwadratu. Jednocze?nie jednak niektóre z tych figur, np. ko?o, poddaj? si? procedurze renormalizacji opartej na poj?ciu samopodobie?stwa, czyli tendencji do wielopoziomowego powtarzania identycznych struktur geometrycznych. W czystej matematyce takie obiekty zosta?y zdefiniowane znacznie wcze?niej (oczywi?cie nie nazywano ich fraktalami), by?y one traktowane jako swego rodzaju przypadki szczególne, "monstra", które w pewnym sensie potwierdza?y ograniczon? zdolno?? poznania klasycznej geometrii. W dzisiejszej terminologii nazywane s? one fraktalami deterministycznymi. Natomiast fraktale spotykane w rzeczywisto?ci (nie sztuczne) okre?la si? jako losowe.

 

 Poniewa? fraktale obrazuj? z?o?ono?? tak struktur matematycznych jak i ?wiata rzeczywistego, powstaje pytanie, jak mierzy? stopie? skomplikowania ich kszta?tu? Wiadomo, ?e d?ugo?? linii brzegowych fraktali d??y do niesko?czono?ci, przeto d?ugo?? linii brzegowych nie jest dobr? miar? z?o?ono?ci kszta?tu tych obiektów. Lepsz? miar? zaproponowa? Mandelbrot w postaci poj?cia "wymiaru fraktalnego", który okre?la stopie? meandrowania krzywej i jest w pewnym sensie miar? wype?nienia przestrzeni, w której ta krzywa jest zanurzona. W matematyce o takiej krzywej mówi si?, ?e "czuje" przestrze? (por. Schroeder 1991: 10).

Poj?cie wymiaru fraktalnego prowadzi do zaskakuj?cych spostrze?e? i narusza powszechnie utrwalone w ?wiadomo?ci ludzkiej wyobra?enia o wymiarowaniu obiektów liniowych, powierzchniowych i obj?to?ciowych. Mimo i? wydaje si? zupe?nie oczywiste, ?e punkt ma wymiar 0, linia wymiar 1, p?aszczyzna wymiar 2, a przestrze? jest trójwymiarowa, to jednak poj?cie wymiaru w matematyce ma d?ug? i niezupe?nie jeszcze zako?czon? histori?.

Na potrzeb? g??bszej analizy i bardziej precyzyjnego definiowania poj?cia wymiaru pierwszy zwróci? uwag? Poincaré w 1912 r. Stwierdzi?, ?e "prosta jest jednowymiarowa, poniewa? mo?na rozdzieli? dowolne dwa punkty na niej przecinaj?c j? w jednym punkcie (który ma wymiar 0), natomiast p?aszczyzna jest dwuwymiarowa, poniewa? dla rozdzielenia dowolnych dwóch punktów na p?aszczy?nie musimy wyci?? ca?? krzyw? zamkni?t? (maj?c? wymiar 1).

Nasuwa to my?l indukcyjnej natury wymiarowo?ci: dana przestrze? jest n-wymiarowa, je?eli mo?na rozdzieli? dwa dowolne jej punkty usuwaj?c podzbiór (n-1)-wymiarowy, i je?eli podzbiór mniejszego wymiaru nie zawsze do tego wystarcza" (Courant, Robbins 1961: 323).

Powy?sze stwierdzenia wykazuj?, ?e towarzysz?ce cz?owiekowi odczucie natury wymiarowo?ci nawi?zuje w?a?nie do topologicznego wymiaru obiektów, tak matematycznych jak i naturalnych.

Ca?y text znajdziesz tu:

http://www.zep.amu.edu.pl/pl/wp-content/Fraktale.pdf

Share on Facebook
Dyskusja na temat artykułu na forum
Powiniene┼Ť si─Ö zalogowa─ç lub zarejestrowa─ç aby m├│c uczestniczy─ç w dyskusji.

Najnowsze na stronie

  1. (12-07-2013 00:51 - Micha?-Anio?)
  2. (23-04-2013 00:37 - Micha?-Anio?)
  3. Monsanto vs. konopie (22-04-2013 23:58 - Micha?-Anio?)
  4. Dr Bruce Lipton Birth (21-03-2013 11:09 - Micha?-Anio?)
  5. Gorzkie nasiona (13-03-2013 08:17 - Micha?-Anio?)
  6. Wizualizacje ?wi?tej Geometrii (10-03-2013 21:39 - Micha?-Anio?)
  7. Kymatica (17-12-2012 17:07 - Micha?-Anio?)
  8. Droga Rudolfa Steinera (16-12-2012 22:17 - Micha?-Anio?)
  9. Boska matematyka (06-12-2012 00:54 - Micha?-Anio?)
  10. (11-11-2012 13:50 - Micha?-Anio?)
  11. ?wi?ta Ekonomia (06-11-2012 19:16 - Micha?-Anio?)
  12. (05-11-2012 21:10 - Micha?-Anio?)
  13. ?yjemy w symulacji? (29-10-2012 20:26 - Micha?-Anio?)
  14. Dzien przed ujawnieniem (22-07-2012 19:28 - Micha?-Anio?)
  15. Dusza i fizyka kwantowa (16-07-2012 21:32 - Micha?-Anio?)
  16. Mechanika kwantowa a granice czasu i przestrzeni (16-07-2012 16:19 - Micha?-Anio?)
  17. (16-07-2012 16:12 - Micha?-Anio?)
  18. Natura rzeczywisto?ci (16-07-2012 16:06 - Micha?-Anio?)

Na forum

No posts to display.

Muzyka Online

Otwórz radio w okienku:
Ambient       wmplayer    wmplayer    wmplayer
Relaxation    wmplayer    wmplayer    wmplayer
Meditation    wmplayer    wmplayer    wmplayer

Login Form

Forum Imaginarium
Imaginarium -Facebook
ImaginariumPL - YouTube
RSS